Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Maksimum hacimli silindirin yüksekliği koni yüksekliğinin 1/3'ü olan hs = 4 cm'dir. Yarıçapı ise benzerlikten rs = 2/3 Rkoni = 2/3 5 = 10/3 cm olur.
Koni yarıçapı r = 3 cm, yüksekliği h = 4 cm ise ana doğrusu a = 5 cm'dir. Tüm yüzey alanı A = π r a + π r² = π 3 5 + π 3² = 15π + 9π = 24π cm²dir.
Vsilindir = π 3² 8 = 72π. Vkoni = 1/3 π 6² hkoni = 12π hkoni. Hacimler eşit olduğundan 72π = 12π * hkoni → hkoni = 6 cm bulunur.
Yarım daire çapı etrafında 360 derece döndürüldüğünde tam bir küre oluşur. Yarıçapı R = 10 cm olan bu kürenin hacmi V = 4/3 π R³ = 4/3 π 10³ = 4000/3 * π cm³tür.
Koninin açınımında merkez açı formülü theta = 360 (r / a)'dır. Burada theta = 180 derece olduğundan: 180 = 360 (r / a) → r / a = 1/2 bulunur.
Dik koninin hacmi V = 1/3 π r² h = 1/3 π 3² 4 = 1/3 9π 4 = 12π cm³tür.
Adım adım çözüm: Eşkenar üçgen yüksekliği etrafında 360 derece dönseydi koni oluşurdu. 180 derece döndüğü için yarım koni oluşur.
Adım adım çözüm: Hacim yarıçapın karesi ve yükseklikle doğru orantılıdır. Yarıçap yarıya inince karesinden ötürü 1/4 olur yükseklik 3 katına çıkınca 3 * 1/4 = 3/4 katına iner.
Adım adım çözüm: Kürenin yarıçapı ve uzaklığı dik üçgen oluşturur (5-12-13 üçgeni). Kesit dairesinin yarıçapı r = 5 cm bulunur.
Adım adım çözüm: Tepe noktasından kesildiğinde oluşan eksen kesiti bir üçgendir. Bu üçgenin tabanı koninin çapı yani 2 2 = 4 cm yüksekliği ise koninin yüksekliği olan 6 cm'dir.
Kürenin yüzey alanı A = 4 π R² ve hacmi V = 4/3 π R³'tür. Alanın hacme oranı A / V = (4 π R²) / (4/3 π R³) = 3 / R'dir.
Kürelerin hacimleri oranı, yarıçapları oranının küpüne eşittir: V1 / V2 = (r1 / r2)³ = (3 / 6)³ = (1/2)³ = 1/8'dir.
Adım adım çözüm: Kürenin merkezinden silindirin üst tabanına olan mesafe yüksekliğin yarısı yani 3 cm olur.
Silindirin başlangıçtaki yarıçapı r, yüksekliği h olsun. İlk hacim: V₁ = πr²h'dir. Yarıçap 2 katına çıkarıldığında yeni yarıçap 2r, yükseklik yarıya indirildiğinde yeni yükseklik h/2 olur.
Silindir eğildiğinde, dökülen suyun hacmi, üst kısımda oluşan ve yüksekliği silindirin çapına eşit olan yarım silindirin hacmine eşittir.
Adım adım çözüm: Üçgenin diğer dik kenarı 4 cm'dir. 3 cm lik kenar etrafında dönme sonucu r = 4 cm ve h = 3 cm olan bir koni oluşur.
Kürenin hacmi V = 4/3 π r³ = 4/3 π 3³ = 4/3 * 27π = 36π cm³tür.
Bir düzlemsel şeklin bir eksen etrafında 360 derece döndürülmesiyle oluşan cisme dönel cisim denir.
Bir dikdörtgenin bir kenarı etrafında döndürülmesiyle silindir oluşur.
Bir dik üçgenin bir dik kenarı etrafında döndürülmesiyle koni oluşur.
Bir yarım dairenin çapı etrafında döndürülmesiyle küre oluşur.
Taban yarıçapı r ve ana doğrusu l olan koninin yanal alanı pi r l dir.
Koninin ana doğrusu, yükseklik ve taban yarıçapı ile kök içinde h² artı r² dir.
Adım adım çözüm: Hacim V = pi r² 6 = 54π ise r² = 9 ve r = 3 cm bulunur. Taban çevresi = 2π r = 2π 3 = 6π santimetre olur.
Adım adım çözüm: Koninin tüm yüzey alanı taban alanı (pi 3² = 9π) ve yanal alanın (pi 3 * 5 = 15π) toplamıdır.
Adım adım çözüm: Karenin döndürülmesiyle r = 4 cm ve h = 4 cm olan bir silindir oluşur. Toplam alanı = 2π r h + 2π * r² = 32π + 32π = 64π olmalıdır.
Adım adım çözüm: Silindirin hacmi V1 = pi 16 6 = 96π olur. Bir koninin hacmi V2 = 1/3π 4 * 3 = 4π olur.
Adım adım çözüm: Yarıçap 2 katına çıktığında karesinden ötürü hacim 4 katına çıkar. Yeni Hacim = 24π * 4 = 96π santimetreküp bulunur.
Adım adım çözüm: Koninin yüksekliği h = 2r dir. Hacim V = 1/3π r² 2r = 2/3π * r³ = 18π olur.
Adım adım çözüm: Kürenin hacim formülü V = 4/3π r³ şeklindedir. r = 3 için r³ = 27 olur.
Yarıçapı r olan kürenin hacmi 4/3π r³ tür.
Silindirin tüm yüzey alanı 2π r çarpı r artı h ifadesine eşittir.
Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4π r² dir.
Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan koninin hacmi pi r² h bölü 3 tür.
Adım adım çözüm: Toplam alan = 2π r² + 2π r h = 24π şeklindedir. r = 2 için 8π + 4π h = 24π olur, buradan 4π h = 16π ve h = 4 santimetre bulunur.
Adım adım çözüm: Tam kürenin hacmi V = 4/3π 6'nın küpü = 288π olur. Yarım kürenin hacmi bunun yarısı olacağından 288π / 2 = 144π santimetreküp bulunur.