Analitik

Çemberin analitik incelenmesi

YKS · AYT · AYT Geometri

⚡ Hızlı Özet

Merkezi a b ve yarıçapı r olan çemberin denklemi, x eksi a karesi artı y eksi b karesi eşittir r karedir.

Hap Bilgiler

Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.

Merkezi a b ve yarıçapı r olan çemberin denklemi, x eksi a karesi artı y eksi b karesi eşittir r karedir.

Genel çember denkleminde yarıçap, √(D² + E² - 4F) ifadesinin yarısına eşittir: r = √(D² + E² - 4F) / 2.

Bir noktanın koordinatları çember denkleminde yerine konur. Sonuç sıfırsa nokta çember üzerinde, negatifse iç bölgede, pozitifse dış bölgededir.

Bir doğrunun çemberle konumu, merkezin doğruya uzaklığı ile yarıçap karşılaştırılarak bulunur. Uzaklık yarıçaptan küçükse doğru çemberi keser.

Bir doğru çembere teğetse, merkezin doğruya uzaklığı yarıçapa eşittir. Teğet doğru çemberi tek noktada keser.

Çember üzerindeki bir noktada çizilen teğet, o noktayı merkeze birleştiren yarıçapa diktir. Teğetin eğimi yarıçap eğiminin ters işaretli tersidir.

x eksenine teğet çemberin merkezinin y koordinatının mutlak değeri yarıçapa eşittir. y eksenine teğetse merkezin x koordinatının mutlak değeri yarıçaptır.

Genel denklemi verilen çemberin merkezinin koordinatları M(x0, y0) olsun. Merkez koordinatları formülünden: x0 = -D/2 = -(-2k)/2 = k ve y0 = -E/2 = -(4k)/2 = -2k bulunur.

Verilen doğrunun normal vektörü n = (3, -4)'tür.

Köşeleri O(0, 0), A(8, 0) ve B(0, 6) olan üçgen, dik köşesi O(0, 0) olan bir dik üçgendir.

Çember birinci bölgede eksenlere teğet olduğundan merkezi M(r, r) ve yarıçapı r birimdir. Mutlak değer tanımından iki durum incelenir: 1) 7r - 24 = 5r → 2r = 24 → r = 12 birim.

Doğru ile çemberin kesişim noktalarını bulmak için denklem sistemini ortak çözelim.

Çemberin merkezi M(3, -1) ve yarıçapı r = √10 birimdir. 3x + y + k = 0 doğrusu bu çembere teğet ise, merkezin doğruya olan dik uzaklığı (d) yarıçapa eşit olmalıdır.

P(0, 5) noktasından geçen doğrunun denklemi y - 5 = mx → mx - y + 5 = 0 şeklindedir. Eğimi m = 4/3 olan teğet doğrusunun denklemi: 4/3 x - y + 5 = 0 → 4x - 3y + 15 = 0 olur.

x = 0 için y² - 6y - 9 = 0 denkleminde kökler y₁ ve y₂ olsun.

Çember her iki eksene de teğet ise, merkez koordinatlarının mutlak değerleri çemberin yarıçapına eşittir (|a| = |b| = r).

Çemberin analitik incelenmesi çalışırken ana odak sayısal akıl yürütme kurmaktır; önce kavramı, sonra tipik soru dilini ayır.

Çemberin analitik incelenmesi sorularında en hızlı kontrol, verilen bilginin hangi kavramı ölçtüğünü bulup çeldirici ayrımı yapmaktır.

Ortak çözüm denklemini bulmak için çember denkleminde y yerine x + m yazalım: x² + (x + m) kare = 8 → x² + x² + 2mx + m² - 8 = 0 → 2x² + 2mx + m² - 8 = 0 elde edilir.

Öncelikle A(1, 2) noktası ile merkez M(4, 6) arasındaki uzaklığı bulalım:|AM| = √((4-1)² + (6-2)²) = √(3² + 4²) = 5 birimdir.

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 genel denkleminin bir nokta belirtmesi için yarıçapın 0 olması, yani D² + E² - 4F = 0 olması gerekir.

Çemberin merkezi M(2, 4) ve yarıçapı r = √(2² + 4²) = √20 birimdir. Çemberin merkezinden kirişe çizilen dik doğru parçası kirişi ortalar.

Çemberin denklemi x² + y² - 6x - 8y = 0'dır. Orijin O(0,0) noktası bu çemberin üzerindedir (0² + 0² - 0 - 0 = 0).

x² artı y² artı D x artı E y artı F eşittir 0 bir çember belirtir ancak D² artı E² eksi 4 F pozitifse geçerlidir.

Merkezi orijinde ve yarıçapı r olan çemberin denklemi, x² artı y² eşittir r karedir.

x² artı y² artı D x artı E y artı F eşittir 0 genel denkleminde merkez, eksi D bölü 2 ile eksi E bölü 2 noktasıdır.

Konuyu Uygulamada Pekiştir

Çemberin analitik incelenmesi için 40+ Çıkmış & Özgün Soru

Açıklamalı çözümler, Spaced Repetition tekrar algoritması ve her doğru cevapta +10 XP kazanımı.

Hemen Çöz (+30 XP) ⚡

Örnek Sorular

Doğru cevap ve açıklamalı çözüm efor uygulamasında — reklamsız, ücretsiz başla.

1. Analitik düzlemde x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 çemberinin 3x - 4y + 5 = 0 doğrusuna paralel olan teğetlerinin denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A3x - 4y - 43 = 0
B3x - 4y + 18 = 0
C3x - 4y - 25 = 0
D3x - 4y + 25 = 0
E3x - 4y - 7 = 0