Temel Kavramlar & Cebir

Karmaşık sayılar

YKS · AYT · AYT Matematik

⚡ Hızlı Özet

Karmaşık sayı a artı bi biçimindedir; a gerçek kısım, b sanal kısımdır. i sanal birim olup i karesi eksi 1 e eşittir.

Hap Bilgiler

Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.

Karmaşık sayı a artı bi biçimindedir; a gerçek kısım, b sanal kısımdır. i sanal birim olup i karesi eksi 1 e eşittir.

Sanal birim i nin kuvvetleri dörtlü döngü izler: i, eksi 1, eksi i, 1. Kuvvet 4 e bölününce kalana göre değer bulunur.

Karmaşık sayılar toplanırken gerçek kısımlar kendi arasında, sanal kısımlar kendi arasında toplanır.

İki karmaşık sayı dağılma özelliğiyle çarpılır ve i karesi eksi 1 alınarak sadeleştirilir.

Karmaşık sayılar, yatay ekseni gerçek kısım düşey ekseni sanal kısım olan düzlemde bir nokta olarak gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme, pay ve payda paydanın eşleniğiyle çarpılarak yapılır; böylece payda gerçek sayıya dönüşür.

Karmaşık sayı r çarpı (kosinüs teta artı i sinüs teta) biçiminde yazılabilir; r modül, teta ise argümandır.

Diskriminant negatif olduğunda ikinci dereceden denklemin kökleri eşlenik karmaşık sayılar çifti olarak gelir.

Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri karmaşık sayı ise, diğer kök mutlaka onun eşleniğidir.

dir. - B) -3+2i ve D) -3-2i: Reel kısımda veya sanal kısımda yapılan işaret dağıtma hatalarıdır.

- C) 1 ve D) -1: Sadeleştirme sırasında sanal kısmın kaybolduğu varsayımıdır. - E) 2i: Paydanın sadeleşmediğinin düşünülmesi durumudur.

dir. - C) -5+i ve D) -5-i: İşaret dağıtımında yapılan hatalardır. - E) 26: Bölme işleminin yapılmaması hatasıdır.

dir. - E) 10: Bölme işleminin yapılmayıp doğrudan sağdaki terimin seçilmesi hatasıdır.

100 sayısı 4'e tam bölündüğü için (100 = 4·25), bu 100 terim dörderli gruplara ayrıldığında her bir grubun toplamı 0 olur.

dir. - B) -4+i ve C) -4-i: Katsayı ve işaret dağıtırken yapılan hata sonucu oluşurlar. - E) 17: Eşitliğin sağındaki sayının sadeleştirme yapılmadan doğrudan yazılmasıdır.

İfadeyi iki farklı yoldan çözebiliriz. - D) 2 ve E) -2: Sanal birimlerin sadeleştirilirken reel sayılara dönüştürülmesi hatasıdır.

Karmaşık sayılar çalışırken ana odak sayısal akıl yürütme kurmaktır; önce kavramı, sonra tipik soru dilini ayır.

a artı bi karmaşık sayısının eşleniği a eksi bi dir. Bir sayı ve eşleniği çarpıldığında sonuç a² artı b² gerçek sayısıdır.

Kök katsayı ilişkilerinden: - z1 + z2 = 12 - z1·z2 = 45 İstenen ifade: z1/z2 + z2/z1 = ((z1 + z2)² - 2z1 z2)/(z1·z2) = (12² - 2·45)/45 = (144 - 90)/45 = 54/45 = 6/5 bulunur.

Paydayı (3+4i) ile çarpalım: z = 25/(3 - 4i) = (25·(3 + 4i))/((3 - 4i)(3 + 4i)) = (25(3 + 4i))/(3² + 4²) = (25(3 + 4i))/25 = 3 + 4i bulunur.

Kök katsayı ilişkilerinden: - z1 + z2 = 14 - z1·z2 = 58 İstenen ifade: z1/z2 + z2/z1 = ((z1 + z2)² - 2z1 z2)/(z1·z2) = (14² - 2·58)/58 = (196 - 116)/58 = 80/58 = 40/29 bulunur.

z'yi bulmak için paydayı eşleniği (1-3i) ile genişletelim: z = 10/(1 + 3i) = (10·(1 - 3i))/((1 + 3i)(1 - 3i)) = (10(1 - 3i))/(1² + 3²) = (10(1 - 3i))/10 = 1 - 3i bulunur.

Paydayı (7+i) ile çarpalım: z = 50/(7 - i) = (50(7 + i))/((7 - i)(7 + i)) = (50(7 + i))/(7² + 1²) = (50(7 + i))/50 = 7 + i bulunur.

a artı bi sayısının modülü, orijine uzaklığıdır ve √(a² artı b²) formülüyle bulunur; her zaman negatif olmayan bir sayıdır.

Kök katsayı ilişkilerinden: - z1 + z2 = 12 - z1·z2 = 40 İstenen ifade: z1/z2 + z2/z1 = ((z1 + z2)² - 2z1 z2)/(z1·z2) = (12² - 2·40)/40 = (144 - 80)/40 = 64/40 = 8/5 bulunur.

Paydayı (5+3i) ile çarpalım: z = 34/(5 - 3i) = (34·(5 + 3i))/((5 - 3i)(5 + 3i)) = (34(5 + 3i))/(5² + 3²) = (34(5 + 3i))/34 = 5 + 3i bulunur.

Konuyu Uygulamada Pekiştir

Karmaşık sayılar için 40+ Çıkmış & Özgün Soru

Açıklamalı çözümler, Spaced Repetition tekrar algoritması ve her doğru cevapta +10 XP kazanımı.

Hemen Çöz (+30 XP) ⚡

Örnek Sorular

Doğru cevap ve açıklamalı çözüm efor uygulamasında — reklamsız, ücretsiz başla.

1. 1 metre uzunluğundaki bir çubuk, 5 eş parçaya ayrılıyor. Elde edilen bu parçalar üst üste konularak tekrar 5 eş parçaya ayrılıyor. Bu işlem 4 kez yapıldığında, her bir parçanın uzunluğu kaç metre olur?

A0.0
B1.0