Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Basamak çözümlemesini yapalım: abc - (a+b+c) = 100a + 10b + c - a - b - c = 99a + 9b = 9(11a+b).
Bir sayıdaki değişim: 1000·(1) + 100·(-4) + 10·(2) = 1000 - 400 + 20 = +620 (620 artar) olur.
Sayımız 1000'e yakın bir üç basamaklı sayı olmalıdır (n = abc). Rakamlar toplamı S(n) ≤ 9+9+9 = 27 ve S(S(n)) ≤ 9 olacağından, n = 1000 - S(n) - S(S(n)) ≥ 1000 - 27 - 9 = 964 olur.
Soruda 2b = a+c koşulu verilmiştir. Bu koşulun sağlanması için a+c toplamı çift sayı olmak zorundadır.
Yüzler basamağındaki rakam 2 yerine 6 okunduğu için sayı (6-2)·100 = +400 (yani 400 fazla) okunmuştur.
Aynı yöntemle çözelim: a+b = 9 koşulu (binler basamağı a ≠ 0): (a,b) çiftleri: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0) olmak üzere 9 tanedir.
Bir sayıdaki değişim: 100·(2) + 10·(-3) + 1·(-4) = 200 - 30 - 4 = +166 (166 artar) olur. 10 sayı olduğundan, toplamdaki net değişim: 10·166 = 1660 artar.
Sorudaki cebirsel ifadeyi basitleştirmek için çarpanlara ayırma özdeşliklerinden faydalanalım.
Bir sayıdaki değişim: 100·(2) + 10·(-4) + 1·(3) = 200 - 40 + 3 = +163 (yani 163 artar) olur.
Bir sayıdaki değişim: 100·(-2) + 10·(5) + 1·(-1) = -200 + 50 - 1 = -151 (151 azalır) olur.
Bir sayıdaki değişim: 100·(1) + 10·(-6) + 1·(2) = 100 - 60 + 2 = +42 (42 artar) olur. 12 sayı olduğundan, toplamdaki net değişim: 12·42 = 504 artar.
Birler basamağındaki rakam 4 yerine 9 okunduğu için sayı (9-4)·1 = +5 (yani 5 fazla) okunmuştur.
Kaydırma hatası yapıldığında ikinci satır onlar basamağındaki katsayı (20) ile değil, sadece rakam değeri (2) ile çarpılmış olur.
Bir rakamın bulunduğu basamağa göre kazandığı değere basamak değeri denir. 253 sayısında 5'in basamak değeri 50'dir.
Bir rakamın kendi değerine sayı değeri denir ve basamağa bağlı değildir. 253 sayısında 5'in sayı değeri 5'tir.
Onlar basamağı a, birler basamağı b olan iki basamaklı sayı 10a + b biçiminde çözümlenir.
Yüzler a, onlar b, birler c ise üç basamaklı sayı 100a + 10b + c olarak yazılır.
Bir sayının rakamları 0 ile 9 arasındadır. Soldaki ilk basamak 0 olamaz, yoksa basamak sayısı azalır.
İki basamaklı ab ve ba sayılarının farkı 9 çarpı (a eksi b) sonucunu verir; fark daima 9'un katıdır.
Bir sayının rakamları toplamı ile sayının kendisi farklı kavramlardır. 34 sayısının rakamları toplamı 7'dir.
Ardışık tam sayılar 1'er artar. n ile başlayan üç ardışık sayı n, n+1, n+2 biçiminde yazılır.
Çift sayı 2k, tek sayı 2k+1 biçiminde gösterilir. Burada k bir tam sayıdır.
Onluk tabanda her basamak 10'un bir kuvvetidir. Sağdan sola birler, onlar, yüzler biçiminde büyür.
Soruda a > b > c sıralaması istenmektedir. Bu durumda birler basamağı c = 0 olabilir. Rakamlarımızı {0, 1, 2, ..., 9} kümesinden seçeceğiz.
Çözümleme yapılırsa: 10a + b = 4(a+b) + 6 → 10a + b = 4a + 4b + 6 → 6a = 3b + 6 → 2a = b + 2 elde edilir.
abc - cba = 99(a-c) = 198 → a-c=2 bulunur. Rakamları farklı en büyük abc sayısını oluşturmak için yüzler basamağı en büyük değer olan a=9 seçilir.
Hatalı işlem: AB·(1+6) = AB·7 = 105 → AB = 15 bulunur. Doğru sonuç: 15·16 = 240 olur.
Hatalı işlem: AB·(4+2) = AB·6 = 180 → AB = 30 bulunur. Doğru sonuç: 30·42 = 1260 olur.
ab - ba = 9(a-b) = 27 → a-b=3 bulunur. En büyük ab sayısı için a=9 → b=6 olup en büyük sayı 96'dir.
ab + ba = 11(a+b) = 132 → a+b=12 bulunur. Verilen denklem sistemi çözülürse: a+b=12 ve a-b=2 taraf tarafa toplanırsa: 2a = 14 → a = 7 bulunur.
abc + bca + cab = 111(a+b+c) olur. Verilen değer yerine yazılırsa: 111(a+b+c) = 1998 → a+b+c = 18 bulunur.
Hatalı işlem: AB·(3+6) = AB·9 = 216 → AB = 24 bulunur. Doğru sonuç: 24·36 = 864 olur.
abc - cba = 99(a-c) = 693 → a-c=7 bulunur. Rakamları farklı en büyük abc sayısı için a=9 → c=2 olur.
abc - cba = 99(a-c) = 594 → a-c=6 bulunur. Rakamları farklı en büyük abc sayısı için a=9 → c=3 olur.
abc - cba = 99(a-c) = 594 → a-c=6 bulunur. Denklem sistemini çözelim: a+c=10 ve a-c=6 taraf tarafa toplanırsa: 2a = 16 → a = 8 bulunur.
Çözümleme yapılırsa: 10a + b = 3(a+b) + 3 → 10a + b = 3a + 3b + 3 → 7a = 2b + 3 elde edilir.