Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Üsler aynı olduğundan tabanlar oranlanabilir: 10 üzeri -25 üzeri -2 = (10/5) üzeri -2 = 2 üzeri -2 olur.
İfadeyi yerine yazalım: (16·(-27))/-36 = -432/-36 = 12 bulunur. dir. - : Sadeleştirme adımlarında aritmetik hata ile 6 bulunmuştur.
Her iki tabanı da 2'nin kuvveti olarak yazalım: - 0,25 = 25/100 = 1/4 = 2⁻² olur. Eşitsizliği yazalım: 2⁻²ˣ⁺⁴ ≥ 2³ˣ⁺³ olur.
Sıralı yerine koyma metodunu uygulayalım: - 2 üzeri x = 3 - İkinci denklemde 3 yerine 2 üzeri x yazalım: (2 üzeri x) üzeri y = 5 → 2 üzeri x·y = 5 olur.
x ve y pozitif tam sayılar olduğundan bu 4 çiftin tamamı geçerlidir. Dolayısıyla 4 farklı sıralı ikili vardır.
xʸ = yˣ denkleminin pozitif tam sayılar kümesindeki çözümleri incelendiğinde: - Eğer x = y ise sonsuz sayıda çözüm vardır (örn: 1¹ = 1¹, 2² = 2² vb.).
Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini ifade eder: 5 üzeri -1 = 1/5, 2 üzeri -1 = 1/2 olur.
Üslerin en büyük ortak bölenini bulalım: EBOB(120, 80, 60) = 20 olur. Üsler eşit olduğuna göre tabanı büyük olan daha büyüktür: 64 < 81 < 125 → a < b < c bulunur.
x denkleminden 2 üzeri a terimini yalnız bırakmaya çalışalım: x = 1 - 2 üzeri -a → 2 üzeri -a = 1 - x olur.
Denklemlerden 2 üzeri x ifadelerini yalnız bırakalım: - a - 1 = 2 üzeri x olur. - b - 1 = 2 üzeri -x = 1/(2 üzeri x) → 2 üzeri x = 1/b-1 olur.
dir. - : Hatalı oranlama sonucu 8 denmiştir. - : Çapraz çarpımda katsayı hatasıyla 12 bulunmuştur.
Elimizde iki bilinmeyenli bir denklem sistemi var: 1) 3x - 4y = 7 2) x - y = 5 → x = y + İlk denklemde x yerine y+5 yazalım: 3(y+5) - 4y = 7 → 3y + 15 - 4y = 7 → -y = -8 → y = 8 olur.
Üsleri karşılaştırabilmek için üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bulalım: EBOB(60, 45, 30) = 15 olur.
a üzeri n ifadesi, a sayısının n kez kendisiyle çarpımını gösterir. a tabana, n ise üsse (kuvvete) karşılık gelir. n pozitif tam sayıdır.
Tabanları aynı üslü sayılar çarpılırken taban korunur, üsler toplanır: a üzeri m çarpı a üzeri n = a üzeri (m+n). Bu kural üslü işlemlerin temelidir.
Tabanları aynı üslü sayılar bölünürken taban korunur, üsler çıkarılır: a üzeri m bölü a üzeri n = a üzeri (m-n). Taban sıfırdan farklı olmalıdır.
Bir üslü sayının kuvveti alınırken üsler çarpılır: (a üzeri m) üzeri n = a üzeri (m·n). Parantez içi tekrar üslendiğinde bu kural kullanılır.
Negatif üslü ifade, tabanın çarpmaya göre tersinin pozitif kuvveti demektir: a üzeri (-n) = 1 / (a üzeri n). Taban sıfırdan farklı olmalıdır.
İki sayının çarpımının kuvveti, her birinin kuvvetlerinin çarpımına eşittir: (a·b) üzeri n = (a üzeri n)·(b üzeri n). Aynı kural bölüm için de geçerlidir.
Kesirli üs, köklü ifadeye karşılık gelir: a üzeri (1/n) = n. dereceden karekök a. Genel olarak a üzeri (m/n) = n. dereceden kök (a üzeri m) biçimindedir.
Çok büyük veya çok küçük sayılar a·10 üzeri n biçiminde yazılır; burada 1 ≤ a < 10 olur. Buna bilimsel gösterim denir.
Aynı tabanlı çarpımda üsler toplanır; aynı tabanlı bölümde üsler çıkarılır.
Her iki denklemi de ortak tabanlar cinsinden düzenleyelim: - 3 üzeri a = 25 → 3 üzeri a = 5² → 3 üzeri a/2 = 5 olur.
Buradan x = z = 2¹² ve y = 2⁸¹ elde edilir. Sıralama: x = z < y şeklindedir.
Pay kısmını en küçük kuvvet olan 2 üzeri x+1 parantezine alalım: - Pay: 2 üzeri x+1(2² + 2¹ + 1) = 2 üzeri x+1(4 + 2 + 1) = 7·2 üzeri x+1 olur.
72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 72 = 8·9 = 2³·3² olur. Bu durumda 72 üzeri x ifadesini yazalım: 72 üzeri x = (2³·3²) üzeri x = (2 üzeri x) küp·(3 üzeri x) kare olur.
Sayıların değerlerini hesaplayalım: a = 2³ = 8, b = 3² = 9, c = 5¹ = 5 olur.
İfadeyi 2 üzeri x ortak parantezine alarak düzenleyelim: 2 üzeri x·2² + 5·2 üzeri x·2¹ - 3·2 üzeri x = 88 2 üzeri x(4 + 10 - 3) = 88 2 üzeri x(11) = 88 olur.
3 ve 5'in tam sayı kuvvetlerinin sınırlarını belirleyelim: - 3 üzeri a = 120 için: 3⁴ = 81 ve 3⁵ = 243 olduğundan, 120 sayısı bu iki değer arasındadır.
10 üzeri x = u dönüşümü yapalım. Bu durumda 10 üzeri -x = 1/u olur. Denklem: (u + 1/u)/(u - 1/u) = 3 → ((u² + 1)/u)/((u² - 1)/u) = 3 → (u² + 1)/(u² - 1) = 3 olur.
Tabanları 5 yapalım: - 0,2 = 2/10 = 5 üzeri -1 → (0,2) üzeri x kare-3 = 5 üzeri -x kare+3, - 25 üzeri x = (5 kare) üzeri x = 5 üzeri 2x olur.
5 üzeri x+2 ifadesini üslü sayı çarpımı şeklinde ayıralım: 5 üzeri x+2 = 5 üzeri x·5² = 5 üzeri x·25 olur.
İfadeyi ortak paranteze alarak basitleştirelim. dir. - : Üslerin çıkarılmasında işaret hatası yapılarak 3² = 9 bulunmuştur.
Sıfırdan farklı her a sayısının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir: a üzeri 0 = 1. Bu kural üslü sayı özelliklerinin doğal sonucudur.
Negatif bir tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatif sonuç verir. Örneğin (-2)² = 4, (-2)³ = -8 olur.