Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Bir z = a + bi karmaşık sayısında: Reel kısım: Re(z) = a = 4'tür. Sanal (imajiner) kısım: Im(z) = b = -3'tür (sanal kısım alınırken i birimi dahil edilmez).
Çakışık (eşit/çift katlı) iki reel kökün olması, diskriminantın sıfır olmasıyla mümkündür (Δ = 0).
Bu iki koşulu ortak sağlayan m değeri m = -3'tür (m = 3 değeri m < 2 koşulunu sağlamadığı için elenir, çünkü m=3 için sabit terim pozitif olur ve zıt işaretli reel kök oluşmaz).
Köklerin geometrik dizinin terimleri olduğunu biliyoruz. O halde ortak çarpan r olmak üzere (r > 1 çünkü artan geometrik dizi): x1 = a, x2 = ar, x3 = ar kare, x4 = ar küp olsun.
Denklemin her iki tarafındaki 8/x-2 ifadeleri sadeleştirilirse, x = 2 eşitliği elde edilir.
Gerçek katsayılı denklemin bir kökü 1 + 2i ise, diğer kökü eşleniği olan 1 - 2i olmalıdır.
Kökler çarpımı formülünü uygulayalım: x1·x2 = c/a = Verilen x1 = x2 kare bağıntısını yerine yazalım: x2 kare·x2 = 27 → x2 küp = 27 → x2 = 3 bulunur.
Denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -15, toplamları +2 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar +5 ve -3'tür.
- C) 8: İşlem hatası içeren sonuçtur. - D) 12: Kökler çarpımındaki payda olan 2'ye bölmenin unutulması durumudur (3·4 = 12).
İfadenin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olması için değişkenin en büyük üssü 2 olmalıdır.
Mutlak değerli ifadeyi kritik noktasına (x=3) göre inceleyelim: 1) x ≥ 3 için: |x-3| = x-3 olur.
ax kare + bx + c = 0 biçimindeki denkleme ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a sıfırdan farklıdır.
Delta sıfırdan büyükse denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
Delta sıfıra eşitse denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü vardır.
Delta sıfırdan küçükse denklemin gerçek kökü yoktur.
Kökler x = (-b artı eksi karekök delta) / 2a formülüyle bulunur.
Denklemin köklerinin toplamı -b / a değerine eşittir.
Denklemin köklerinin çarpımı c / a değerine eşittir.
Denklem çarpanlarına ayrılıp her çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.
Denklem tam kareye tamamlanarak da çözülebilir; kök formülü bu yolla türetilir.
Denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması iki şekilde mümkündür: 1) Payın diskriminantı sıfır olmalıdır (Δ = 0): a² - 4·1·15 = 0 → a = ± √(60) (tam sayı değildir).
Bilinmeyen karmaşık sayıya z = x + iy diyelim. Mutlak değeri |z| = √(x² + y²) olur (bu bir reel sayıdır).
Değişken değiştirelim: t = 2 üzeri x (t > 0 olmalı) olsun. Bu durumda 4 üzeri x = t² olur.
Denklemi |x| kare - 4|x| + 3 = 0 olarak yazıp |x| = t (t ≥ 0) dönüşümü yapalım: t² - 4t + 3 = 0 → (t-3)(t-1) = 0 → t = 3 veya t = 1 olur.
Değişken değiştirelim: t = 3 üzeri x (t > 0) olsun. Denklem: t² - 10t + 9 = 0 olur. Çarpanlarına ayıralım: (t-9)(t-1) = 0 → t = 9 veya t = 1 bulunur.
İfadenin ikinci dereceden denklem olması için x³ terimi bulunmamalıdır. Yani: m² - 16 = 0 → m = 4 veya m = -4 olmalıdır.
Denklem: x² - 5x - 5 = Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 2x² - 3x - 9 = 0 elde edilir.
Kökleri verilen ikinci dereceden denklem: x² - Tx + Ç = 0 formülüyle yazılır. Burada T kökler toplamı, Ç kökler çarpımıdır.
Baş katsayısı 2 olan denklemi çarpanlarına ayıralım: 2x² → 2x·x -3 → 1·(-3) şeklinde çapraz kontrol edelim: 2x·(-3) + x·1 = -6x + x = -5x (ortadaki terimi verir).
Verilen denklem aslında bir tam karedir. İnceleyelim: x² - 2√(5)x + 5 = (x - √(5))² = 0 şeklindedir.
İfadeyi payda eşitleyerek yazalım: (x1 kare + x2 kare)/((x1x2)²) olur. dir.
Denklemin her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alalım: 2(x² x) = 2(16) Logaritma özelliğinden üst başa çarpım olarak geçer: (2 x)·(2 x) = 4 → (2 x) kare = 4 elde edilir.
Diskriminant formülü Δ = b² - 4ac'dir. Verilen denklemde a = 1, b = 10 ve c = 25 değerlerini formülde yerine yazalım: Δ = 10² - 4·1·25 = 100 - 100 = 0 bulunur.
Denklem yapısı x² - (x1+x2)x + x1x2 = 0 şeklindedir. - C) 5: b değerinin pozitif (1) alınması hatasıdır.
- C) 2x² - 5x + 3 = 0: Kökler toplamının rasyonel olarak hatalı hesaplanmasıdır. - E) x² - 7x + 3 = 0: Payda eşitleme işleminin yapılmaması durumudur.
Delta = b² eksi 4ac ifadesine diskriminant denir; köklerin durumunu belirler.