Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Kümenin elemanları m, {n}, {p, r} ve s'dir. Kümenin elemanı olan {n}'dir. Dolayısıyla 'dir.
çünkü {x} bir elemandır. çünkü y bir elemandır. çünkü y ve w elemanlarından oluşan küme alt kümedir.
Birleşim kümesinin eleman sayısı: s(F ∪ B) = 40 - 3 = 37 olur. Formülden: s(F ∪ B) = s(F) + s(B) - s(F ∩ B) → 37 = 22 + 25 - s(F ∩ B) → s(F ∩ B) = 10 bulunur.
En az bir dili konuşanların oranı: %100 - %10 = %90'dır. Kesişim oranı: %80 + %50 - %90 = %40'tır.
En az iki dil bilenler x, yalnız bir dil bilenler x olur. Toplam: x + x = 2x = 50 → x = 25 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısı: s(A ∪ B) = 6 + 4 - 1 = 9 olur. Kartezyen çarpımın eleman sayısı ise: s((A ∪ B)·(A ∩ B)) = 9·1 = 9 olarak bulunur.
Birleşim formülünden: s(A ∪ B) = 12 + 8 + s(A ∩ B) = 20 + s(A ∩ B) olur. 3·s(A ∩ B) = 20 + s(A ∩ B) → 2·s(A ∩ B) = 20 → s(A ∩ B) = 10 bulunur.
Kümenin eleman sayısı n olsun. Alt küme sayısı 2 üzeri n, özalt küme sayısı ise 2 üzeri n - 1'dir.
Sıralı ikililerin eşitliği tanımından birinci bileşenleri ve ikinci bileşenleri ayrı ayrı eşitleriz: 1) 2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4 olur.
Yatay kenar uzunluğu: 8 - 3 = 5 birim. Dikey kenar uzunluğu: 4 - (-2) = 6 birim. Dikdörtgensel bölgenin alanı: Alan = 5·6 = 30 birimkaredir.
Kesişim kümesinin elemanları hem 3 hem 5'in katı, yani LCM(3,5)=15'in katı olmalıdır. Ortak aralık [15, 60] aralığıdır.
Kesinlikle bulunması istenen 3, 5, 7 ve bulunmaması istenen 1 elemanını kümeden çıkarırsak geriye {2, 4, 6, 8} olmak üzere 4 eleman kalır.
En az bir dili konuşanların oranı: %100 - %5 = %95'tir. Kesişim oranı: %75 + %45 - %95 = %25'tir.
Kümeden bulunması kesin olan x ile bulunmaması kesin olan y ve z elemanlarını çıkarırız. Geriye 2 eleman kalır (yani {t, w}).
Yatay kenar: 2 - (-2) = 4 birim. Dikey kenar: 5 - (-1) = 6 birim. 'dır.
Kesişimi birleşim üzerine dağıtalım: [ (A ∪ B)' ∪ (A ∩ B) ] ∩ A = ((A ∪ B)' ∩ A) ∪ (A ∩ B ∩ A) Sol tarafı De Morgan ile açalım: (A' ∩ B') ∩ A = (A' ∩ A) ∩ B' = ∅ ∩ B' = ∅ olur.
Bileşenleri eşitleyelim: 1) 3x + 1 = 10 → 3x = 9 → x = 3 2) 2y - 5 = 7 → 2y = 12 → y = 6 Bizden istenen x·y = 3·6 = 18 olur.
Kartezyen çarpımın kesişim üzerine dağılma özelliğini kullanalım: (A·B) ∩ (A·C) = A·(B ∩ C) olur.
Bulunması istenen 2 ve 4 ile bulunmaması istenen 5 ve 6 elemanlarını kümeden çıkaralım. Toplam 7 elemandan bu 4 eleman çıkarıldığında geriye 3 eleman kalır (yani {1, 3, 7}).
Dağılma özelliğini uygularsak: s(A·(B ∩ C)) = s(A)·s(B ∩ C) = 4·5 = 20 bulunur. 'dir.
Birleşim kümesinin eleman sayısı: s(F ∪ B) = 28 - 6 = 22 olur. Formülden: 22 = 14 + 16 - s(F ∩ B) → s(F ∩ B) = 8 bulunur.
En az iki dil bilenler x, yalnız bir dil bilenler 5x olur. Toplam: 5x + x = 6x = 60 → x = 10 bulunur.
İyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesnelerin oluşturduğu topluluğa küme denir.
Bir A kümesindeki eleman sayısı s(A) simgesiyle gösterilir.
Bir kümenin her elemanı başka bir kümede de bulunuyorsa, birinci küme ikincinin alt kümesidir.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 üzeri n'dir.
İki kümenin birleşimi, her iki kümede bulunan tüm elemanların oluşturduğu kümedir.
İki kümenin kesişimi, ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.
A fark B kümesi, A'da olup B'de olmayan elemanlardan oluşur.
A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı, birincisi A'dan ikincisi B'den olan sıralı ikililerin kümesidir.
s(A çarpı B) = s(A) çarpı s(B) eşitliği geçerlidir.
Orantı sabitini x alalım: s(A ∖ B) = 3x, s(B ∖ A) = 2x, s(A ∩ B) = x. Birleşim: 3x + 2x + x = 36 → 6x = 36 → x = 6. Bizden s(A) istenmektedir: s(A) = 3x + x = 4x = 4·6 = 24 olarak bulunur.
s(A·B) = 2·5 = 10 elemandır. Belirli bir elemanın bulunduğu alt küme sayısı: 2¹⁰ - 1 = 2⁹ = 512 olur.
s(A·B) = 3·3 = 9 elemandır. Belirli bir elemanın bulunduğu alt küme sayısı geriye kalan 9 - 1 = 8 elemanla yazılan alt küme sayısı kadardır: 2⁸ = 256 bulunur.
Tüm alt kümeler = 2⁵ = 32'dir. İçinde y veya z elemanlarından hiçbirinin bulunmadığı alt kümeler, bu iki eleman çıkarılarak {x, t, w} elemanları ile yazılanlar: 2³ = 8'dir.
s(A birleşim B) = s(A) + s(B) eksi s(A kesişim B) bağıntısı geçerlidir.