Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Sözel ifadeyi adım adım sembolik mantığa çevirelim: - 'Her' niceleyicisi ∀ sembolüyle gösterilir.
(Ayrıca De Morgan kuralına göre (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' yazılabilir. p' ∨ q' ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1 olur ki bu da p ∨ q ile aynı doğruluk değerine sahiptir).
Doğrudan ispat adımlarını inceleyelim: - A) Doğrudan ispatta x tek sayısı için genel gösterim x = 2k+1 (k ∈ ℤ) şeklindedir, bu adım doğrudur.
Ve (∧) bağlacının sonucunun 1 olması için her iki koşullu önermenin de 1 olması gerekir: q → r ≡ 1 r ≡ 0 olduğuna göre: q → 0 ≡ 1 olmalıdır.
Veya (∨) bağlacında sonucun 0 olması için her iki bileşenin de 0 olması gerekir: (p → q') ∨ r ≡ 0 → p → q' ≡ 0 ve r ≡ 0 r ≡ 0 → 'C'nin boyu B'nin boyundan kısadır' önermesi yanlıştır.
Açık önermeyi sağlayan pozitif tam sayı ikililerini (x, y ∈ ℤ^+) bulmalıyız: 2x + 3y ≤ 12 → 3y ≤ 12 - 2x y pozitif tam sayı olduğundan alabileceği en küçük değer 1'dir.
Çelişki, bileşenlerinin alabileceği her doğruluk değeri için daima 0 değerini alan bileşik önermelerdir.
Tek tek kuralları inceleyelim: - A) p ∨ p' ≡ 1 olmalıdır (Veya bağlacında biri mutlaka 1'dir).
O halde köşeli parantezin içi: p' ∨ 0 ≡ p' olur. Şimdi tüm bileşik önermeyi yazalım: p' → p' Bir önermenin kendisine ise bağlacıyla bağlanması daima 1'e denktir (1 → 1 ≡ 1 ve 0 → 0 ≡ 1).
Dolayısıyla p → q önermesinin değili p ∧ q' önermesidir. dir.
Mantıkta bir koşullu önerme (p → q), daima kendi karşıt tersine (q' → p') denktir. Doğruluk tablosu yaparak da bunu görebiliriz.
Bileşik önermelerin doğruluk değerlerini inceleyelim: - A) p ∨ q önermesinin değeri hem p'ye hem q'ya bağlıdır.
Karşıt örnek vardır, değeri 0'dır). Karşılayan eleman yoktur, değeri 0'dır). Değeri 0'dır).
Bir önermenin değili (olumsuzu), önermenin bildirdiği hükmün olumsuzlanmasıdır. Matematiksel ifadelerde eşittir (=) sembolünün değili eşit değildir ( ≠ ) sembolüdür.
Önermenin sözel ifadesi şöyledir: 'Her x reel sayısı için öyle bir y reel sayısı vardır ki, bu iki sayının toplamı sıfıra eşittir.' Bu ifadeyi matematiksel olarak inceleyelim.
Her bir ifadeyi tek tek inceleyelim: - (1 ∧ 0) ∨ 1 ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1 (Doğru) - (0 → 1) ∧ 0' ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1 (Doğru) - (1 ∨ 1) ⇔ 0 ≡ 0 ⇔ 0 ≡ 1 (Çünkü 0 ⇔ 0 ≡ 1 olmalıdır.
Matematiksel önermelerde büyüktür veya eşittir ( ≥ ) sembolünün değili (olumsuzu) küçüktür (<) sembolüdür.
- Teorem: Doğruluğu aksiyomlar veya daha önce ispatlanmış diğer teoremler yardımıyla ispatlanabilen önermelerdir.
Veya bağlacında bir önerme ile değilinin veya işlemine tabi tutulması (q ∨ q') daima 1 sonucunu verir.
Koşullu önermede sonucun 0 olması için sol tarafın 1, sağ tarafın 0 olması gerekir: p → (q ∨ r) ≡ 0 → p ≡ 1 ve q ∨ r ≡ 0 p ≡ 1 → A marka araç dizeldir.
Verilen önermelerin doğruluk değerlerini formülde yerine koyalım: (p ∧ q') ∨ r p ≡ 1, q ≡ 1 → q' ≡ 0, r ≡ 0 (1 ∧ 0) ∨ 0 Ve bağlacında 1 ∧ 0 ≡ 0 olduğundan: 0 ∨ 0 ≡ 0 Bulunan sonuç 0'dır.
n tane bağımsız önermenin birbirine göre alabileceği doğruluk durumlarının sayısı 2 üzeri n formülüyle hesaplanır.
Veya (∨) bağlacında sonucun 0 olması için her iki bileşenin de 0 olması gerekir: (r ∨ 1)' ≡ 0 → r ∨ 1 ≡ 1 olmalıdır.
Doğru veya yanlış olarak kesin bir yargı bildiren ifadelere önerme denir. Bir önerme aynı anda hem doğru hem yanlış olamaz. Doğruysa doğruluk değeri 1, yanlışsa 0 kabul edilir.
Bir p önermesinin olumsuzu, doğruluk değerini tersine çevirir. p doğruysa değili yanlış, p yanlışsa değili doğrudur. Bir önermenin değilinin değili yine kendisidir.
p ve q önermelerinin 've' ile bağlanması, ancak her iki önerme de doğru olduğunda doğru sonuç verir. En az biri yanlışsa bileşik önerme yanlıştır.
p ve q önermelerinin 'veya' ile bağlanması, en az biri doğru olduğunda doğru sonuç verir. Yalnızca her ikisi de yanlışsa bileşik önerme yanlıştır.
'p ise q' önermesi yalnızca p doğru ve q yanlış olduğunda yanlıştır; diğer tüm durumlarda doğrudur. Buna gerektirme (koşul) önermesi denir.
'p ise q' önermesi ile karşıt tersi olan 'q değil ise p değil' önermesi her zaman aynı doğruluk değerine sahiptir. Bu ikili birbirine denktir.
'p ancak ve ancak q' önermesi, p ile q'nun doğruluk değerleri aynı olduğunda doğrudur. Değerler farklıysa bileşik önerme yanlış olur.
'p ve q' önermesinin değili, 'p değil veya q değil' önermesine eşittir. Benzer şekilde 'p veya q' önermesinin değili, 'p değil ve q değil' olur.
Bileşenlerin tüm doğruluk değerleri için daima doğru olan önermeye totoloji, daima yanlış olan önermeye çelişki denir. 'p veya p değil' bir totolojidir.
'Her' niceleyicisi tüm elemanlar için, 'bazı' niceleyicisi en az bir eleman için doğruluk bildirir. 'Her x doğrudur' önermesinin değili 'bazı x yanlıştır' olur.
Önermeyi parça parça olumsuzlayalım: Dıştaki ∀ x ∈ ℝ niceleyicisinin değili ∃ x ∈ ℝ olur. İçteki koşullu önermenin (x > 2 → x² > 4) değilini bulmalıyız.
Bu yönteme aksine örnek verme yöntemi denir. Soruda verilen önerme: ∀ x ∈ ℝ, x² ≥ x'tir.
Verilen önermeyi sembolik mantıkla ifade edelim: p: "x tek sayıdır." q: "x² tek sayıdır." Önerme: p → q Bu önermenin karşıt tersi: q' → p' şeklindedir.