Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
A'dan B'ye C noktasından geçerek gitmek iki aşamalı bir işlemdir ve çarpma prensibi uygulanır: A'dan C'ye en kısa yoldan ulaşım: 2 sağ ve 1 yukarı olmak üzere toplam 3 adım atılır.
Bu tür 'yan yana olmama' sorularında en pratik yol, tüm olası sıralama durumlarından, istenmeyen durumları (Ali ve Veli'nin yan yana olduğu durumları) çıkarmaktır.
Yazılacak 3 basamaklı sayının tek olması istenmektedir. Kümedeki rakamlar A = {1, 2, 3,..., 7}'dir.
Bir üçgen çizebilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç duyarız. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız: Üçgen Sayısı = C(7, 3) = 73 = (7·6·5)/(3·2·1) = 35 bulunur.
Bu tür 'yan yana olmama' sorularında en pratik yol, tüm olası sıralama durumlarından, istenmeyen durumları (Ali ve Veli'nin yan yana olduğu durumları) çıkarmaktır.
A noktasından B noktasına en kısa yoldan gitmek için toplamda 4 adım sağa (S) ve 4 adım yukarı (Y) hareket edilmelidir.
Dolayısıyla dir. - 13: Sadeleştirme esnasında yapılan çarpma veya bölme hatasıdır. - 15: Eşitlikte -2 teriminin karşıya +2 olarak geçirilmesinin unutulması hatasıdır.
"TÜRKİYE" kelimesinin harfleriyle kelime oluşturulurken sesli harflerin kendi aralarında alfabetik sırada olması istenmektedir.
"MAKAS" kelimesinde tekrar eden harfler olduğundan tekrarlı permütasyon formülü uygulanmalıdır.
n farklı nesnenin yan yana sıralanışlarının sayısı n! (n faktöriyel) ile bulunur. Soruda verilen 3 farklı kitap için bu değer: 3!
Özdeş nesnelerin dağıtımı sorularında 'Ayraç Yöntemi' kullanılır. Burada 7 adet özdeş oyuncak ve bunları 3 çocuğa bölüştürmek için 3 - 1 = 2 adet ayraç kullanılır.
A noktasından B noktasına en kısa yoldan gitmek için toplamda 3 adım sağa (S) ve 5 adım yukarı (Y) hareket edilmelidir.
"ANKARA" kelimesinde tekrar eden harfler olduğundan tekrarlı permütasyon formülü uygulanmalıdır.
Normalde 7 kişiden 3 kişi seçilmesi gerekirdi. Ancak gruptaki 1 kişi kesinlikle takıma dahil edileceği için seçme hakkımız azalır: - Takıma seçilecek kişi sayısı: 3 - 1 = 2 kişi kalır.
A noktasından B noktasına en kısa yoldan gitmek için toplamda 3 adım sağa (S) ve 4 adım yukarı (Y) hareket edilmelidir.
Bir N sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden D ile tam bölünenleri bulmak için şu mantığı kullanırız: Aradığımız bölenler d formatında olsun.
Çarpma yoluyla sayma prensibine göre, birbirini takip eden ve bağımsız yapılan işlemlerin toplam seçim sayısı, her bir adımın seçim sayılarının çarpımına eşittir.
Bir N sayısının pozitif tam sayı bölenlerinden D ile tam bölünenleri bulmak için şu mantığı kullanırız: Aradığımız bölenler d formatında olsun.
Matematik kitaplarının yan yana olması istendiği için, bu 2 matematik kitabını tek bir kitap gibi (bir paket olarak) kabul ederiz.
"MANİSA" kelimesinin harfleriyle kelime oluşturulurken sesli harflerin kendi aralarında alfabetik sırada olması istenmektedir.
Yazılacak 3 basamaklı sayının çift olması istenmektedir. Kümedeki rakamlar A = {1, 2, 3,..., 6}'dir.
Dolayısıyla dir. - 10: Sadeleştirme esnasında paydadaki 6 çarpanının karşıya çarpım olarak atılmasında hata yapılmasıdır.
"TARTAR" kelimesinde tekrar eden harfler olduğundan tekrarlı permütasyon formülü uygulanmalıdır.
6 kişi arasından 3 kişinin seçilip yan yana sıralanması işlemi bir permütasyon işlemidir. Permütasyon formülü: P(n, r) = (n!)/((n-r)!) şeklindedir.
Bir üçgen çizebilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç duyarız. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız: Üçgen Sayısı = C(8, 3) = 83 = (8·7·6)/(3·2·1) = 56 bulunur.
Bir üçgen çizebilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç duyarız. Seçim sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız: Üçgen Sayısı = C(6, 3) = 63 = (6·5·4)/(3·2·1) = 20 bulunur.
n farklı nesneden r tanesinin sıralı diziliş sayısı P(n,r)=n!/(n-r)! ile bulunur. Permütasyonda sıralama önemlidir.
n farklı nesneden r tanesinin sırasız seçim sayısı C(n,r)=n!/(r!·(n-r)!) ile bulunur. Kombinasyonda sıralama önemli değildir.
n nesneden r seçmek ile n-r seçmek aynı sayıda yol verir: C(n,r)=C(n,n-r). Ayrıca C(n,0)=C(n,n)=1'dir.
n nesnenin bazıları özdeşse dizilim sayısı azalır. Tekrar eden gruplar p, q, ... tane ise diziliş sayısı n!/(p!·q!···) ile bulunur.
n farklı nesnenin bir daire çevresinde dizilme sayısı (n-1)! kadardır. Dairede başlangıç noktası olmadığı için bir nesne sabitlenir.
Bir iş m farklı, ardından ikinci iş n farklı şekilde yapılabiliyorsa, iki iş birlikte m·n farklı şekilde yapılır. Buna saymanın çarpma kuralı denir.
Bir iş ya m farklı ya da n farklı şekilde ve bu yollar birbirinden ayrıksa, iş toplam m+n farklı şekilde yapılabilir. Buna toplama kuralı denir.
Permütasyon ile kombinasyon arasında P(n,r)=C(n,r)·r! bağıntısı vardır. Çünkü her r'li seçim r! farklı şekilde sıralanabilir.
n farklı nesnenin tamamının sıralanış sayısı n! kadardır. Bu, P(n,n)=n! özel durumudur çünkü 0≠1 alınır.
Bir n doğal sayısının faktöriyeli, 1'den n'ye kadar tüm doğal sayıların çarpımıdır: n≠1·2·3···n. Tanım gereği 0≠1 ve 1≠1 kabul edilir.