Bölünen sayı, bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle elde edilir. → Bölünen eşittir bölen çarpı bölüm artı kalan bağıntısı tüm bölme sorularının temel denklemidir.
İki sayının toplamının, farkının veya çarpımının bir sayıya bölümünden kalan, bu sayıların kalanlarının toplamı, farkı veya çarpımının o sayıya bölümünden kalana eşittir. → Sınav sorularında sayılar yerine kalanlarla işlem yapmak zaman kazandırır.
Bir bölme işleminde kalan sayı bölümden kesinlikle küçükse, bölen ile bölüm yer değiştirdiğinde kalan sayı değişmez.
Bir sayının bir tam sayıya bölümünden kalan k ise, o sayının pozitif tam sayı kuvvetinin aynı tam sayıya bölümünden kalan k sayısının aynı kuvvetinin bölümünden kalana eşittir. → Büyük üslü sayılarda işlem yaparken önce taban sayısının kalanı bulunur.
Kalanlar üzerinde yapılan toplama veya çarpma işlemi sonucunda elde edilen değer bölen sayıya eşit veya bölenden büyük çıkarsa, bu değer tekrar bölen sayıya bölünerek gerçek kalan bulunur.
İki farklı tam sayının aynı x sayısına bölümünden elde edilen kalanlar eşit ise bu iki sayının farkı x sayısına tam bölünür.
Bir bölme işleminde bölünen sayıdan kalan çıkarılırsa veya bölünen sayıya bölen ile kalan arasındaki fark eklenirse elde edilen yeni sayı bölene tam bölünür.
Bir sayının sekiz ile bölümünden kalan, o sayının son üç basamağının sekiz ile bölümünden kalana eşittir. → Son üç basamağı sekizin katı veya üç sıfır olan sayılar sekize tam bölünür.
Bir sayının altı ile tam bölünebilmesi için sayının aynı anda hem iki hem de üç ile tam bölünmesi gerekir. → Sayı hem çift sayı olmalı hem de rakamları toplamı üçün katı olmalıdır.
Bir sayının yirmi beş ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının çift sıfır, yirmi beş, elli veya yetmiş beş olması gerekir. → Sayının yirmi beş ile bölümünden kalan son iki basamağının yirmi beş ile bölümünden kalandır.
Herhangi bir tam sayının karesinin dört ile bölümünden kalan sadece sıfır veya bir olabilir. → Bir tam sayının karesinin dört ile bölümünden kalan hiçbir zaman iki veya üç olamaz.
Üç basamaklı bir sayının yan yana iki kez yazılmasıyla oluşan altı basamaklı tüm sayılar bin bir sayısına tam bölünür. → Bu tür sayılar aynı zamanda yedi, on bir ve on üç sayılarına da her zaman tam bölünür.
İki basamaklı bir sayının yan yana iki kez yazılmasıyla elde edilen dört basamaklı tüm sayılar yüz bir sayısına tam bölünür. → abab biçimindeki bir sayı kendi iki basamaklı kök sayısının yüz bir katına eşittir.
Üç basamaklı bir sayıdan basamaklarının ters yazılışı çıkarıldığında elde edilen sayı her zaman doksan dokuz ile tam bölünür. → Elde edilen fark yüzler basamağı ile birler basamağı farkının doksan dokuz katıdır.
Bölme işleminde bölünen ve bölen sayılar aynı pozitif tam sayı ile sadeleştirilirse bölüm değişmez fakat kalan da aynı oranda küçülür. → Gerçek kalanı bulmak için elde edilen kalan sadeleştirilen sayı ile yeniden çarpılmalıdır.
Bir sayının on ile bölümünden kalan k ise, bu sayının iki ile bölümünden kalan k sayısının iki ile bölümünden kalana, beş ile bölümünden kalan ise k sayısının beş ile bölümünden kalana eşittir.
Tüm basamaklarındaki rakamları aynı olan çift sayıda basamağa sahip sayılar on bir ile her zaman tam bölünür. → İki basamaklı kırk dört veya altı basamaklı yedi yüz yetmiş yedi bin yedi yüz yetmiş yedi sayısı on bire tam bölünür.
Bir bölme işleminde kalan sayı sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmak zorundadır ve bölen sayıdan her zaman küçüktür. → Kalan sayı bölenden büyük veya bölene eşit bulunursa bölme işlemi henüz bitmemiştir.
Bir sayının 2 ile bölümünden kalan son basamağına, 4 ile bölümünden kalan son iki basamağına, 8 ile bölümünden kalan ise son üç basamağına bakılarak hesaplanır. → Bu kuralların tamamı sayının sadece sonundaki belirli basamakların değerine bağlıdır.
Bir sayının 3 veya 9 ile bölümünden kalan, o sayının tüm rakamlarının toplamının 3 veya 9 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. → Rakamlar toplamı 9 veya 9 katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.
Sayının basamakları sağdan sola doğru sırasıyla artı ve eksi işaretleriyle gruplandırılıp toplanır. Elde edilen sonucun 11 ile bölümünden kalan sayının 11 ile bölümünden kalanı verir. → Çıkan sonuç negatif ise sonuca 11 ve 11 katları eklenerek pozitif kalan bulunur.
Bir sayı aralarında asal iki sayıya ayrı ayrı tam bölünüyorsa bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. → Örneğin 12 ile bölünebilme incelenirken 2 ve 6 sayıları değil, aralarında asal olan 3 ve 4 sayıları seçilmelidir.
Birden fazla bölünebilme kuralının bir arada kullanıldığı sorularda çözüme her zaman öncelikle son basamağı belirleyen kurallarla başlanır. → Örneğin 15 ile bölünebilme incelenirken öncelikle birler basamağını sabitleyen 5 kuralı, ardından rakamlar toplamına bakan 3 kuralı uygulanır.
Yan yana yazılan n tane ardışık tam sayının çarpımı n faktöriyel sayısına her zaman tam bölünür. → Örneğin üç ardışık tam sayının çarpımı 6 sayısına kesinlikle tam bölünür.
Bir sayının 5 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalandır, 10 ile bölümünden kalan ise doğrudan birler basamağındaki rakamdır. → Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.
Çift sayıda ardışık tam sayının toplamı terim sayısına bölündüğünde kalan her zaman terim sayısının yarısına eşittir. → Örneğin dört ardışık tam sayının toplamı dört ile bölündüğünde kalan her zaman iki olur.
Tek sayıda ardışık tam sayının toplamı terim sayısına her zaman tam bölünür. → Bu bölme işleminde elde edilen bölüm dizinin tam ortasındaki terimi verir.
İki basamaklı bir sayının kendisi ile basamaklarının yer değiştirmesiyle oluşan sayının farkı her zaman dokuz ile tam bölünür. → Sayıların farkı rakamlar farkının dokuz katına eşittir.
İki basamaklı bir sayı ile basamakları yer değiştirilerek elde edilen sayının toplamı her zaman on bir ile tam bölünür. → Elde edilen toplam rakamlar toplamının on bir katına eşittir.
Bir bölme işleminde pozitif tam sayı olan bölen b olduğunda kalanın alabileceği tüm farklı doğal sayı değerlerinin toplamı b çarpı b eksi bir bölü iki formülüyle bulunur. → Kalan değerleri sıfırdan başlar ve bölenin bir eksiğine kadar yükselir.
On bir ile bölünebilme kuralı uygulanırken artı ve eksi gruplandırma sonucu negatif bir sayı elde edilirse pozitif bir kalan bulunana kadar sonuca on bir eklenir. → Örneğin işlem sonucu eksi dört çıkarsa sonuca on bir eklenerek esas kalan yedi olarak bulunur.
Bir sayı iki farklı sayıya bölündüğünde aynı k kalanını veriyorsa bu sayı bölenlerin en küçük ortak katının bir katına k eklenerek ifade edilir. → Verilen sayıdan k çıkarıldığında elde edilen yeni sayı her iki bölene de tam bölünür.
Beş ve beşten büyük tam sayıların faktöriyellerinin on ile bölümünden kalan her zaman sıfırdır. → Beş faktöriyel ve sonrasındaki tüm faktöriyelli sayıların birler basamağı sıfır rakamından oluşur.
Bir sayının bileşik bir sayıya bölünebilirliği incelenirken seçilen iki çarpanın aralarında asal olması şarttır. → Örneğin otuz altı ile bölünebilme kuralı için altı ve altı çarpanları yerine aralarında asal olan dört ve dokuz çarpanları kullanılır.
Herhangi bir tam sayının karesinin üç ile bölümünden kalan sadece sıfır veya bir olabilir. → Bir tam sayının karesi üç ile bölündüğünde kalan hiçbir zaman iki olamaz.
Bir sayının son rakamı çift (0, 2, 4, 6, 8) ise o sayı 2 ile tam bölünür; son rakam tek ise sayı 2 ile bölünmez.
Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa sayı 3 ile, toplam 9'a bölünüyorsa sayı 9 ile tam bölünür.
Bir sayının son iki basamağı oluşturduğu iki basamaklı sayı 4'e bölünüyorsa, o sayının tamamı da 4 ile tam bölünür.
Bir sayı hem 2 hem 3 ile aynı anda bölünüyorsa, o sayı 6 ile de tam bölünür; çünkü 6'nın çarpanları 2 ve 3'tür.