Bir orantıda oranların her birinin n. kuvveti alındığında orantı sabiti k sayısının da n. kuvveti (kⁿ) elde edilir. → Örneğin tüm oranların 3. kuvveti alındığında yeni orantı sabiti k³ olur.
Pozitif iki sayının harmonik ortalaması, sayıların çarpımının iki katının toplamlarına bölünmesiyle elde edilir. → Harmonik ortalama özellikle sabit mesafedeki gidiş dönüş ortalama hız hesaplamalarında kullanılır.
Pozitif iki sayının aritmetik ortalaması ile harmonik ortalamasının çarpımı, bu iki sayının geometrik ortalamasının karesine eşittir. → Bu bağıntı sayesinde iki ortalama değeri verilen sayıların üçüncü ortalama değeri denklem kurmadan hesaplanır.
İki nicelik ters orantılı olduğunda bu niceliklerin çarpımı sabittir ve x çarpı y eşittir k biçiminde gösterilir. → Problemlerde ters orantılı değişkenler birbiriyle bölünmez, çarpım durumunda eşitliğe yazılır.
Bir bütünü verilen sayılarla ters orantılı paylaştırmak için sayıların en küçük ortak katı bulunur ve her parçaya bu kata ulaşacak katsayılar verilerek doğru orantıya dönüştürülür. → Örneğin 2 ve 3 ile ters orantılı paylaştırmada parçalara sırasıyla 3 k ve 2 k değerleri verilir.
Harita üzerindeki alan ile gerçek alan arasındaki oran, haritanın ölçeğinin karesine eşittir. → Uzunluklar ölçekle doğru orantılı değişirken alan hesaplamalarında ölçeğin karesi dikkate alınır.
a bölü b eşittir b bölü c orantısında b sayısına a ile c sayılarının orta orantılısı denir. → Orta orantılı sayı, verilen iki sayının geometrik ortalamasına eşittir.
Bir orantıda iç terimlerin kendi arasında veya dış terimlerin kendi arasında yer değiştirmesi orantı eşitliğini bozmaz. → İçlerin yer değiştirmesiyle orantı eşitliği korunur ancak orantı sabiti değişebilir.
Yüzdeleri farklı iki karışım eşit miktarlarda karıştırıldığında oluşan yeni karışımın yüzdesi, karıştırılan maddelerin yüzdelerinin aritmetik ortalamasına eşittir. → Miktarlar eşit olmadığında yeni yüzde, miktarı fazla olan karışımın yüzdesine daha yakın olur.
a bölü b eşittir k orantısında pay ile paydanın toplamının paydaya oranı k artı 1 değerine eşittir. → Bu kural karmaşık orantı ifadelerinde pay ve paydayı tek terime dönüştürerek çözüm kolaylığı sağlar.
Tabanları aynı olan üslü iki sayının geometrik ortalaması alınırken üslerin aritmetik ortalaması ortak tabana üs olarak yazılır. → Örneğin 2⁴ ile 2⁸ sayılarının geometrik ortalaması 2⁶ sayısıdır.
İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Ters orantılı niceliklerin çarpımları sabittir ve problemler çözülürken karşılıklı elemanlar çarpılarak denklem kurulur.
İki oranın eşitliğinde birinci oranın payı ile ikinci oranın paydasının çarpımı, birinci oranın paydası ile ikinci oranın payının çarpımına eşittir. → Bu kural orantıdaki bilinmeyeni bulmak için kullanılır.
Birbirinden farklı pozitif iki sayının aritmetik ortalaması her zaman geometrik ortalamasından büyüktür. Sayılar birbirine eşit olduğunda ise aritmetik ortalama ile geometrik ortalama eşit değer alır.
Birden fazla orantı türünü içeren bileşik orantı sorularında birinci durumdaki yapılan iş miktarı diğer verilerin çarpımına oranlanır. Bu oran, ikinci durumdaki yapılan iş miktarının diğer verilerin çarpımına oranına eşitlenir.
Terimleri arasındaki fark sabit olan ardışık sayı dizilerinde aritmetik ortalama, ilk terim ile son terimin toplamının yarısına eşittir. → Bu tür dizilerde ortanca terim aynı zamanda grubun aritmetik ortalamasına eşittir.
İki çokluk doğru orantılı ise bu çoklukların birbirine bölümü sabittir. x ve y doğru orantılı olduğunda x bölü y eşittir k bağıntısı yazılır. → Doğru orantılı niceliklerde değişkenlerin bölümü orantı sabitini verir.
Pozitif iki sayının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması birbirine eşitse bu iki sayı mutlaka birbirine eşittir. → Sorularda iki ortalama eşit verildiğinde sayılar eşit kabul edilerek işlem yapılır.
İki farklı oranda ortak bulunan değişkenin karşısındaki sayılar en küçük ortak katta eşitlenerek tek bir genişletilmiş orantı elde edilir. → Örneğin a bölü b ve b bölü c oranlarında b sayıları eşitlenerek a, b ve c tek orantıda birleştirilir.
Birbirine bağlı dişli çarklarda diş sayısı ile dönme sayısı ters orantılıdır. → Diş sayısı fazla olan büyük çark daha az tur atarken, küçük çark daha fazla tur atar.
a bölü 3 eşittir b bölü 4 eşittir c bölü 7 biçimindeki orantılarda değişkenler sırasıyla 3k, 4k ve 7k olarak simgelenip verilen denklemde yazılır. → Bu yöntem değişken sayısını teke indirerek denklem çözümünü kolaylaştırır.
Bir orantıda paylar ve paydalar aynı sıfırdan farklı sayılarla çarpılıp toplandığında orantı sabiti k değişmez. → m çarpı a artı n çarpı c bölü m çarpı b artı n çarpı d oranı yine k orantı sabitine eşittir.
Bir orantıda payların toplamı paydaların toplamına oranlandığında orantı sabiti değişmez. → İşlemlerde pay ve paydayı aynı sayıyla genişletip toplamak orantı değerini etkilemez.
Verilen tüm sayıların toplamının sayı adedine bölünmesiyle aritmetik ortalama elde edilir. Sayı dizisindeki her elemana aynı sayı eklenirse yeni aritmetik ortalama da eski ortalamaya o sayı eklenerek bulunur.
Pozitif iki sayının geometrik ortalaması, bu iki sayının çarpımının kareköküne eşittir. Pozitif üç sayının geometrik ortalamasında ise sayıların çarpımının küpkökü alınır.
Bir x sayısı y sayısı ile ters orantılı ise 1 bölü y sayısı ile doğru orantılıdır. → Ters orantı problemleri niceliklerin çarpmaya göre tersleri alınarak doğru orantı denklemine dönüştürülebilir.
Bir veri grubundaki eleman sayısı ile aritmetik ortalamanın çarpımı, gruptaki elemanların toplamını verir. → Ortalaması bilinen gruba yeni eleman katıldığında ilk adım olarak grubun eleman toplamı hesaplanmalıdır.
Bir veri grubuna grubun aritmetik ortalamasına eşit bir sayı eklendiğinde yeni aritmetik ortalama değişmez. → Gruba ortalamadan büyük bir sayı eklenirse ortalama yükselir, küçük bir sayı eklenirse ortalama düşer.
Kişi sayısı değişmeyen bir grubun t yıl sonraki yaş ortalaması t kadar artar. → Gruptan ayrılan veya gruba katılan olmadığı sürece geçen yıl miktarı doğrudan mevcut yaş ortalamasına eklenir.
Bir y niceliği x ile doğru ve z ile ters orantılı ise y çarpı z bölü x eşittir k bağıntısı yazılır. → Orantı denkleminde doğru orantılı ifadeler bölüm, ters orantılı ifadeler ise çarpım biçiminde konumlandırılır.
Pozitif üç sayının geometrik ortalaması, bu üç sayının çarpımının küpköküne eşittir. → Sayı adedi n olduğunda geometrik ortalama sayıların çarpımının n'inci dereceden kökü alınarak hesaplanır.
Harita üzerindeki uzunluk ile gerçek uzunluk birbiriyle doğru orantılıdır. → Harita ölçeği, haritadaki uzunluğun gerçek uzunluğa oranını veren ve payı 1 olan bir orandır.
a bölü b eşittir k orantısında pay ile paydanın farkının paydaya oranı k eksi 1 sayısına eşittir. → a eksi b bölü b ifadesinin değeri doğrudan k eksi 1 olarak bulunur.
Sabit bir hızla hareket eden bir aracın aldığı yol ile geçen zaman doğru orantılıdır. → Hız sabit kaldığı sürece zaman iki katına çıktığında alınan yol da iki katına çıkar.
İki oran birbirine eşitken bu oranlar taraf tarafa çarpılırsa yeni orantı sabiti k sayısı değil, k² olur. → Üç oran çarpıldığında ise yeni sabit k³ biçiminde değişir.
İki büyüklük aynı yönde değişiyorsa, biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa bu iki büyüklük doğru orantılıdır.
İki büyüklükten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki büyüklük ters orantılıdır; çarpımları sabit kalır.
a/b = c/d orantısında a ile d'nin çarpımı, b ile c'nin çarpımına eşittir; bu özellik bilinmeyeni bulmada doğrudan kullanılır.
Bir miktar verilen oranlara göre paylaştırılırken oranlar toplanır, toplam miktar bu toplama bölünüp her oranla çarpılır.