Konunun en kritik bilgileri — hızlı tekrar için.
Eleman sayısı n olan bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı 2 üzeri n formülü ile hesaplanır. Kümenin eleman sayısı 1 arttığında alt küme sayısı 2 katına çıkar.
Bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerine öz alt küme denir ve n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2 üzeri n eksi 1 formülü ile bulunur. → Çıkarılan 1 sayısı kümenin kendisini temsil eder, boş kümeyi temsil etmez.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman sayıları toplamından kesişimlerinin eleman sayısı çıkarılarak bulunur. → Kesişim bölgesindeki elemanlar iki kez sayıldığı için kesişim sayısı bir defa çıkarılır.
Ortak elemanı bulunmayan kümelere ayrık kümeler denir ve ayrık iki kümenin kesişimi boş kümedir. Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, iki kümenin eleman sayıları toplamına doğrudan eşittir.
Bir küme ile o kümenin tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi, kesişimleri ise boş kümeyi verir. Bir kümenin eleman sayısı ile tümleyeninin eleman sayısının toplamı evrensel kümenin eleman sayısını oluşturur.
İki kümenin birleşiminin tümleyeni, bu kümelerin tümleyenlerinin kesişimine eşittir. Benzer şekilde iki kümenin kesişiminin tümleyeni de tümleyenlerinin birleşimine eşittir.
A kümesinin B kümesinden farkı, A kümesinde bulunup B kümesinde bulunmayan elemanların oluşturduğu kümedir. Bir A kümesinin B kümesinden farkı, A kümesi ile B kümesinin tümleyeninin kesişimine eşittir.
İki kümenin kartezyen çarpımının eleman sayısı, bu iki kümenin eleman sayılarının çarpımına eşittir. Kartezyen çarpım işleminde eleman sırası önemlidir ve yer değiştirme özelliği bulunmaz.
Üç kümenin birleşiminin eleman sayısı bulunurken kümelerin eleman sayıları toplanır, ikili kesişimlerinin eleman sayıları çıkarılır ve üçünün kesişiminin eleman sayısı eklenir. → İkili kesişimler çıkarılırken merkezdeki üçlü kesişim bölgesi fazla çıkarıldığı için en son tekrar eklenir.
Eleman sayısı n olan bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı n elemanın r'li kombinasyonu ile hesaplanır. → Örneğin 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı 5'in 2'li kombinasyonuna eşittir.
Eleman sayısı n olan bir kümenin tüm alt kümelerinin yarısında belirli bir eleman bulunurken diğer yarısında bulunmaz. → Bir elemanın bulunduğu veya bulunmadığı alt küme sayısı 2 üzeri n eksi 1 formülü ile hesaplanır.
Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. → Aynı evrensel kümedeki iki farklı kümenin ve tümleyenlerinin eleman sayıları toplamı evrensel kümenin eleman sayısının iki katını verir.
A kümesinin B kümesinden farkı, A kümesi ile B kümesinin tümleyeninin kesişimine eşittir. → Sorularda A fark B ifadesi yerine A kesişim B'nin tümleyeni yazılarak sadeleştirme yapılabilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise bu iki kümenin kesişimi A kümesine, birleşimi ise B kümesine eşittir. → Bu durumda A kümesinin B kümesinden farkı boş küme olur.
Küme problemlerinde en az bir dili konuşanlar ifadesi bir ve daha fazla dil konuşanların toplamını, en çok bir dili konuşanlar ifadesi ise hiç dil konuşmayanlar ile yalnız bir dil konuşanların toplamını belirtir.
Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine ve birleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. → A kesişim (B birleşim C) ifadesi (A kesişim B) birleşim (A kesişim C) biçiminde yazılabilir.
Bir kümenin tüm alt kümelerinin eleman olarak oluşturduğu kümeye kuvvet kümesi denir. → n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesinin eleman sayısı 2 üzeri n olur.
Ortak elemanı bulunmayan ayrık iki kümede A kümesinin B kümesinden farkı doğrudan A kümesine eşittir. → Ayrık kümelerde kesişim boş küme olduğu için kümeden çıkarılacak ortak eleman yoktur.
Küme problemlerinde en çok bir dil konuşanlar ifadesi, hiç dil konuşmayanlar ile sadece bir dil konuşanların eleman sayılarının toplamını ifade eder. → Bu tür sorularda hiç dil konuşmayan grubu hesaba katmayı unutmak en sık yapılan hatadır.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesinin tümleyeni de A kümesinin tümleyeninin alt kümesidir. → Kümeler arasındaki alt küme kapsama ilişkisinde tümleyen alındığında kapsama sembolü yön değiştirir.
Kartezyen çarpım işleminin birleşim ve kesişim işlemleri üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği bulunur. → A kartezyen (B birleşim C) ifadesi (A kartezyen B) birleşim (A kartezyen C) biçiminde yazılabilir.
Eleman sayısı n olan bir kümenin belirli r sayıda elemanının bulunmadığı alt küme sayısı 2 üzeri (n eksi r) formülü ile hesaplanır. → İstenmeyen elemanlar kümeden çıkarıldıktan sonra kalan elemanlar ile tüm alt kümeler oluşturulur.
Eleman sayısı n olan bir kümenin belirli r sayıda elemanının kesinlikle yer aldığı alt küme sayısı 2 üzeri (n eksi r) formülü ile bulunur. → İstenen elemanlar ayrılıp kalan elemanlardan alt küme yapıldıktan sonra bu elemanlar elde edilen kümelere eklenir.
Elemanları birebir aynı olan kümelere eşit kümeler denir ve A kümesi B kümesini, B kümesi de A kümesini kapsıyorsa bu iki küme eşittir. → İki kümenin eşitliğini kanıtlamak için her iki kümenin birbirinin alt kümesi olduğunu göstermek gerekir.
Eleman sayısı n olan bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı ile n eksi r elemanlı alt küme sayısı birbirine eşittir. → Kombinasyonun simetri kuralı gereği örneğin 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı 3 elemanlı alt küme sayısına eşittir.
İki kümenin simetrik farkı, yalnızca birinci kümede veya yalnızca ikinci kümede bulunan elemanların oluşturduğu kümedir. → Simetrik fark kümesi, iki kümenin birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıyla elde edilir.
Küme problemlerinde en az iki özelliği sağlayanlar ifadesi, tam iki özelliği sağlayanlar ile üç veya daha fazla özelliği sağlayanların toplamıdır. → En az ifadesi belirtilen sayısal sınır ve üzerindeki tüm durumları kapsar.
Kümelerde fark işleminin değişme özelliği yoktur; A kümesinin B kümesinden farkı ile B kümesinin A kümesinden farkı genel olarak birbiriyle aynı değildir. → A eksi B kümesi sadece A kümesine ait elemanları, B eksi A kümesi ise sadece B kümesine ait elemanları içerir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir ve eleman sayısı 0 olduğu için alt küme sayısı 2⁰ yani 1 tanedir. → Boş küme sembolü küme parantezinin içine yazılırsa boş küme olmaktan çıkar ve 1 elemanlı bir küme haline gelir.