Terimler arasında temel matematiksel işlemlerle bir kural bulunamadığında her terimin rakamları toplamı incelenmelidir. → Rakamlar toplamı sabit kalabileceği gibi kendi içinde ayrı bir dizi de oluşturabilir.
Bir sayısı ile başlayan ardışık n tane tek sayının toplamı n sayısının karesine eşittir. → Bu özellik özellikle bir sayısı ile başlayan tek sayı serilerinde uzun toplama yapmadan hızlıca sonuca ulaşmayı sağlar.
Sayı dizilerinde artış miktarı yerine terimlerin kaç basamaklı olduğu veya basamak sayısındaki düzenli değişim kuralı oluşturabilir. → Sayı değerine değil basamak yapısındaki periyodik artışa dikkat edilmelidir.
Dizinin terimleri doğrudan asal sayılardan oluşuyorsa terimler arasında fark aramak yerine sayının kaçıncı asal sayı olduğu kontrol edilmelidir. → Asal sayılar arasında sabit bir fark bulunmadığı için sıra numarasına odaklanılmalıdır.
Bir terimden diğerine geçerken sırasıyla çarpma ve toplama gibi farklı iki işlem ardışık uygulanıyor olabilir. → Terimler arasındaki fark ve oran birlikte değişiyorsa bir önceki terimin iki katının üç fazlası gibi bileşik kurallar aranmalıdır.
İki sayısı ile başlayıp iki n sayısı ile biten ardışık çift sayıların toplamı n çarpı n artı bir formülü ile bulunur. → Toplam hesaplanırken son terimin doğrudan kendisi değil yarısı olan n değeri formülde yerine yazılmalıdır.
Örüntülerde her terim bir önceki terimin rakamlarının tersten yazılması veya basamaklarının yer değiştirmesi ile elde edilebilir. → Sayısal işlemler sonuç vermediğinde terimlerin basamak dizilimine dikkat edilmelidir.
Bir dizinin terimleri büyük sayıların sabit bir sayıya bölümünden kalan değerlerden oluşabilir. → Terimler sürekli kendini tekrar eden küçük sayılardan oluşuyorsa modüler kalan ilişkisi kontrol edilmelidir.
Terimleri üslü biçimde ilerleyen dizilerde tabanlar ve üsler ayrı birer aritmetik dizi oluşturabilir. → Sayıların değerlerini hesaplamak yerine üslü gösterimdeki taban ve üs artış kuralı ayrı ayrı incelenmelidir.
Dizilerde her terim kendinden önceki üç terimin toplamı şeklinde tanımlanmış olabilir. → Önceki iki terimin toplamı kuralı sağlamadığında dördüncü terimden itibaren üçlü toplam kuralı test edilmelidir.
Üslü sayıların veya dizilerin son basamağını soran örüntülerde sayının kuvvetleri alındıkça son basamağın kaç adımda bir tekrar ettiği yani periyodu bulunur. İstenen üs değeri bu periyoda bölünerek kalan sayıya göre son basamak belirlenir.
Ardışık iki karesel sayı arasındaki fark her zaman bir tek sayıdır ve bu farklar sırasıyla üç, beş, yedi gibi artan tek sayılar oluşturur. Terimler arasındaki fark ardışık tek sayılar olarak ilerliyorsa örüntü karesel sayılara dayanıyor olabilir.
Terimler arasındaki farklarda belirgin bir matematiksel kural bulunamıyorsa her terim bir önceki terimin rakamları toplamının eklenmesiyle elde ediliyor olabilir. Özellikle basamak sayısı fazla olan sayılardan oluşan dizilerde bu kural göz önüne alınmalıdır.
Terimler tam kare sayıların sabit bir sayı fazlası veya eksiği şeklinde dizilmiş olabilir. Terimler doğrudan tam kare olmasa da her terimin bir karesel sayıya olan sabit uzaklığı incelenmelidir.
Dairesel veya karesel matris biçimindeki örüntülerde kural yan yana terimler arasında değil, karşılıklı konumlanmış sayılar arasında kurulmuş olabilir. Karşılıklı sayıların toplamı, çarpımı veya farkının sabit bir değere eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.
Sayı dizisinde verilen eksik terimi bulmak için tespit edilen örüntü kuralı hem eksik terimden önceki sayılarla hem de eksik terimden sonra gelen sayılarla doğrulanmalıdır. Sadece tek yönlü kontrol hatalı terim seçilmesine yol açabilir.
Terimler arasındaki farklar sabit bir artış göstermiyorsa bu farkların iki, üç, beş, yedi, on bir gibi asal sayılar dizisini oluşturup oluşturmadığı kontrol edilmelidir.
Birinci adımı bir, ikinci adımı üç, üçüncü adımı altı biçiminde ilerleyen üçgensel sayı dizilerinde her terim, bulunduğu adım sayısına kadar olan pozitif tam sayıların toplamına eşittir.
Terimleri sırasıyla iki, altı, on iki, yirmi, otuz şeklinde ilerleyen dizilerde her terimin adım sayısı ile bir fazlasının çarpılmasıyla elde edildiği göz önüne alınmalıdır.
Artış miktarı sabit olan aritmetik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan iki terimin toplamı her zaman sabittir ve ilk terim ile son terimin toplamına eşittir.
Terimlerin büyüme hızı son derece yüksek olan dizilerde sayılar doğrudan faktöriyel değerleri veya bu değerlerin sabit bir sayı fazlası ya da eksiği olabilir.
Ardışık terimleri arasında sabit bir oran bulunan geometrik dizilerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımı her zaman birbirine eşittir.
Uzun ve karmaşık görünen sayı dizilerinde terimler üçerli gruplara ayrılarak grup içindeki ilk iki sayının toplamının veya çarpımının üçüncü sayıyı verip vermediği incelenmelidir.
Terimlerin işaretleri pozitif ve negatif olarak sırayla değişen dizilerde kural oluşturulurken negatif bir sayının tek ve çift kuvvetlerinin etkili olduğu göz önünde bulundurulmalıdır.
Tek numaralı adımlarda farklı bir matematiksel işlem, çift numaralı adımlarda farklı bir matematiksel işlem uygulanarak ilerleyen iki aşamalı örüntüler kurulabilir.
Artış miktarı sabit bir sayı dizisinde son terimden ilk terim çıkarılıp artış miktarına bölündükten sonra sonuca bir eklenerek terim sayısı bulunur. → Artış miktarı hesaplanırken terimlerin artarak mı yoksa azalarak mı ilerlediğine dikkat edilmelidir.
Sabit artışlı sayı dizilerinin toplamı hesaplanırken ortanca terim ile terim sayısı çarpılır. Ortanca terim ise ilk terim ile son terimin toplamının yarısına eşittir.
Terim değerleri çok hızlı büyüyen dizilerde sayılar bir pozitif tam sayının küpü veya küpünün bir eksiği ya da bir fazlası kuralına uyabilir. Birden başlayarak sırasıyla iki, üç ve dördün küpleri olan sekiz, yirmi yedi ve altmış dört gibi değerleri tanımak soruda hız kazandırır.
Terimler arasındaki fark düzensiz büyüyorsa her terim bir önceki terimin sabit bir sayı ile çarpılıp ardından sabit bir sayı eklenmesiyle elde ediliyor olabilir. Örneğin iki katının bir fazlası veya üç katının iki eksiği kuralı ardışık terimlerde kontrol edilmelidir.
Terimler sırasıyla bir artıp bir azalıyorsa dizide iki farklı örüntü iç içe geçmiş olabilir. Bu durumda tek sırada bulunan terimler kendi arasında, çift sırada bulunan terimler kendi arasında ayrı diziler olarak değerlendirilmelidir.
Bir sayı dizisinde üçüncü terimden itibaren her terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşit olabilir. İlk birkaç terim küçük sayılardan oluşup sonraki terimler önceki iki sayının toplamını veriyorsa bu Fibonacci benzeri yapı sınanmalıdır.
Sayı dizisinin terimleri arasındaki birinci farklar sabit değilse bu farkların kendi arasındaki farkına bakılır. İkinci farklar sabit bir sayı veriyorsa örüntü kuralı ikinci dereceden bir bağıntıya dayanmaktadır.
Aritmetik bir dizide ardışık terimler arasındaki fark sabittir; bu sabit değer her terime eklenerek sıradaki terim bulunur.
Geometrik bir dizide ardışık terimler arasındaki oran sabittir; bu sabit değere ortak çarpan denir ve her terim öncekiyle çarpılarak bulunur.
Aritmetik bir dizinin n. terimi, ilk terime (n-1) kere ortak farkın eklenmesiyle bulunur; bu formül herhangi bir terimi doğrudan hesaplar.
İlk ve son terimi bilinen bir aritmetik serinin toplamı, ilk ve son terimin toplamının terim sayısıyla çarpılıp ikiye bölünmesiyle bulunur.